分辨率测试卡为了从西门子恒星获得SFR，定位恒星的中心，并在角度φ上读出单个半径的数字值。 函数I(φ)¹描述了取决于平均值a的数字值I和由频率的余弦(2π/ g)和相位校正角度φ-φ₀缩放的幅度b。

图1. 用于ISO12233中描述的S-SFR方法的正弦西门子星。

因此，在标准程序中，假设频率是已知的。在混叠的情况下，这个假设是值得怀疑的。本文的核心思想是检查空间频率的假设是否正确。因此，如果实际频率与假定频率显着不同，我们将其视为混叠的证据。

第一种方法不仅是从拟合算法获得幅度和相位，而且还适合频率。我们选择实施Gauss- Newton算法以最小化残差，同时估计等式的所有相关参数。

图2显示了该算法的迭代过程。从初始估计开始，算法将在每个步骤中最小化残余误差，理想地在经过合理的迭代量之后接近理想解。虽然如果最初的猜测是好的，这种方法效果很好，但我们发现很多情况下，当初始猜测不好时，这种无约束方法不会导致解决方案。经过一些改进后，我们终于决定不向这个方向前进。

图2.等式4中参数的迭代估计残差应最小化。

现在使用的方法是仅关注频率。标准本身描述了获得幅度和相位的方法。在标准方法中，频率被视为给定。对于混叠分析，对于假定频率为最高频率的频率序列应用相同的拟合方法。

图3. 如ISO12233中所述，适合幅度和相位。上图：与窦和余弦配合底部：从正弦和余弦获得的具有正确相位的拟合。

对于每个频率步长（仅假设频率和更低频率），拟合幅度和相位，然后计算拟合函数和测量像素值之间的误差（见图4）。然后，该算法用于检查哪个频率导致最低误差，然后应用于西门子星的所有半径。对于每个半径，具有最低误差的频率除以假定频率。因此，如果混叠值等于1，则图像中的假定频率和获得的频率是相同的。值越低，差异越大。

图4.拟合函数与所有空间频率的像素值之间的最小平方误差。 在该示例中，测量和假设的最小值是相同的。

在图5中，示出了从一系列半径获得的所有三个函数。 根据标准程序获得空间频率响应。 如所解释的那样计算混叠值。拟合误差以橙色显示，表明即使频率发生变化，产生的误差也或多或少稳定。所有数值均针对西门子明星的一小部分进行计算。

图5.所有获得的函数与空间频率的关系图。蓝色：空间频率响应红色：别名值黄色：拟合错误